Operaciones con Polinomios

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado.

P(x) = 2x³ + 5x − 3         Q(x) = 4x − 3x² + 2x³

1Ordenamos los polinomios, si no lo están.

 Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

P(x) +  Q(x) = (2x³ + 5x − 3) + (2x³ − 3x² + 4x)

2Agrupamos los monomios del mismo grado.

P(x) +  Q(x) = 2x³ + 2x³ − 3 x² + 5x + 4x − 3

3Sumamos los monomios semejantes.

P(x) +  Q(x) = 4x³− 3x² + 9x − 3

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x − 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x − 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · ( 2x³ − 3 x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

3 x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x⁵ − 9x⁴ + 12x³ − 6x²

Multiplicación de polinomios

P(x) = 2x² − 3    Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =

= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³ + 9x² − 12x =

Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:

P(x) = x⁵ + 2x³ − x − 8         Q(x) = x² − 2x + 1

P(x) :  Q(x)

A la izquierda situamos el dividendo. Si el polinomio no es completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.

Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor.

x⁵ : x² = x³

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x⁴ : x² = 2 x²

Procedemos igual que antes.

5x³ : x² = 5 x

Volvemos a hacer las mismas operaciones.

8x² : x² = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x³+2x² +5x+8 es el cociente.

Ejercicios resueltos

1)Dados los polinomios:

P(x) = 4x² − 1

Q(x) = x³ − 3x² + 6x − 2

R(x) = 6x² + x + 1

S(x) = 1/2x² + 4

T(x) = 3/2x² +5

U(x) = x² + 2

Calcular:

1)P(x) + Q (x) =

= (4x² − 1) + ( x³ − 3x² + 6x − 2) =

= x³ − 3x² + 4x²+ 6x − 2 − 1 =

= x³ + x²+ 6x − 3

2)P(x) − U (x) =

= (4x² − 1) − (x² + 2) =

= 4x² − 1 − x² − 2 =

= 3x² − 3

3)P(x) + R (x) =

= (4x² − 1) + (6x² + x + 1) =

= 4x² + 6x² + x − 1 + 1 =

= 10x² + x

4)2P(x) − R (x) =

= 2(4x² − 1) − (6x² + x + 1) =

= 8x² − 2 − 6x² − x − 1 =

= 2x² − x − 3

5)S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2x² + 4 ) + (3/2x² +5 ) + (x² + 2) =

= 1/2 x² + 3/2 x² + x² + 4 + 5+ 2 =

= 3x² + 11

6)S(x) − T (x) + U(x) =

= (1/2x² + 4) − (3/2x² +5) + (x² + 2) =

= 1/2x² + 4 − 3/2x² − 5 + x² + 2 =

= 1

2)Dados los polinomios:

P(x) = x⁴ − 2x² − 6x − 1

Q(x) = x³ − 6x² + 4

R(x) = 2x⁴ −2 x − 2

Calcular:

P(x) + Q(x) − R(x) =

= (x⁴ −2x² − 6x − 1) + (x³ − 6x² + 4) − ( 2x⁴ − 2x − 2) =

= x⁴ −2x² − 6x − 1 + x³ − 6x² + 4 − 2x⁴ + 2 x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + x³ −2x² − 6x² − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =

= −x⁴ + x³ − 8x² − 4x + 5

P(x) + 2 Q(x) − R(x) =

=(x⁴ −2x² − 6x − 1) + 2(x³ − 6x² + 4) − ( 2x⁴ −2 x − 2)=

= x⁴ − 2x² − 6x − 1 +2x³ − 12x² + 8 − 2x⁴ + 2 x + 2 =

= x⁴ − 2x⁴ + 2x³ −2x² − 12x² − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 =

= −x⁴ + 2x³− 14x² − 4x + 9

Q(x)+ R(x) − P(x)=

= (x³ − 6x² + 4) + ( 2x⁴ −2 x − 2) − (x⁴ −2x² − 6x − 1) =

= x³ − 6x² + 4 + 2x⁴ −2 x − 2 − x⁴ +2x² + 6x + 1=

= 2x⁴ − x⁴ + x³ − 6x² +2x² −2 x + 6x + 4− 2 + 1=

= x⁴ + x³ − 4x² + 4x + 3

1)(x⁴ −2x² +2 ) · (x² −2x +3) =

= x⁶ −2x⁵ + 3x⁴ − 2x⁴ + 4x³ − 6x² + 2x²− 4x +6=

= x⁶ −2x⁵ − 2x⁴ + 3x⁴ + 4x³ + 2x² − 6x² − 4x +6 =

= x ⁶ −2x⁵ + x⁴ + 4x³ − 4x² − 4x + 6

2)(3x² − 5x) · (2x³ + 4x² − x +2) =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 3x³ + 6x² − 10x⁴ − 20x³ + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 12x⁴ − 10x⁴ − 3x³ − 20x³ + 6x² + 5x² − 10x =

= 6x⁵ + 2x⁴ − 23x³ + 11x² − 10x

3) (2x² − 5x + 6) · (3x⁴ − 5 x³ − 6 x² + 4x − 3) =

= 6x⁶ − 10x⁵ − 12 x⁴ + 8x³ − 6 x² −

− 15x⁵ + 25x⁴ + 30x³ − 20x²+ 15x +

+18x⁴ − 30x³ − 36x² + 24x − 18 =

= 6x⁶ − 10x⁵ − 15x⁵ − 12 x⁴ + 25x⁴ + 18x⁴ +

+8x³ − 30x³ + 30x³− 6 x²− 20x² − 36x² + 15x + 24x − 18 =

= 6x⁶ − 25x⁵ + 31x⁴ + 8x³ − 62x² + 39x − 18

3Dividir los polinomios:

1)(x⁴ − 2x³ −11x²+ 30x −20) : (x² + 3x −2)

2)(x ⁶+ 5x⁴ + 3x² − 2x) : (x² − x + 3)

3) P(x) = 2x⁵ + 2x³ −x − 8         Q(x) = 3x² −2 x + 1

Ejercicios 

Calcula el valor numérico de la siguiente expresión algebraica para a = 2 y b= -1: a2b + b3 - ab2

–3

–7

3

5

El grado del monomio 5x3y2z es:

3

2

5

6

Calcula: 5x2y + 6x – 2yx2

9x2y

11x3y – 2yx2

3x2y + 6x

5x2y + 4yx

Si P(x) = x2 – 2x y Q(x) = 4x2 + 5x – 2, calcula P(x) – Q(x)

–3x2

–3x2 – 7x +2

5x2

3x2-5x-2

Calcula: 2x2y ( x – 4y)

2x3y – 8x2y2

6x3y2

2x3y – 8x2y3

2x3y – 8x2y

Si P(x) = 2xy – 3x2 y Q(x) = y + x, P(x)·Q(x) será:

2xy2 – 5x2y – 3x3

2xy2 – 3x3

2xy2 –x2y + 3x3

2x2– x2y – 3x3

Efectúa la división: (4x3y + 2xy2 – 6xy): 2xy

4x2 + 2y – 6

2x2 + y – 3

2x3 + xy – 3

2x2y + y – 3x

El cociente de la división siguiente es: (7x4 – 3x3 + 2x2 –1): (x2 – x +2)

–7x2 + 5x – 3

–7x4 + 4x – 8

7x2 + 4x – 8

7x2 – 10x + 6

El resto de dividir 6x4 – 2x3 + 5x2 + 1 entre x +2 es:

100

133

–27

121

Escribe como cuadrado de un binomio: 4a2 – 12ab + 9b2

(a+3b) 2

(4a - b) 2

(2a- 3b) 2

(2a+9b) 2

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