Radicales 4º ESO

Radical

Un radical es una expresión de la forma , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.

Potencias y radicales

Se puede expresar un radical en forma de potencia:

Radiales equivalentes

Utilizando la notación de exponente fraccionario y la propiedad de las fracciones que dice que si se multiplica numerador y denominador por un mismo número la fracción es equivalente, obtenemos que:

Si se multiplican o dividen el índice y el exponente de un radical por un mismo número natural, se obtiene otro radical equivalente.

Simplificación de radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.

Reducción a índice común

1Hallamos el mínimo común múltiplo de los índices, que será el común índice
2Dividimos el común índice por cada uno de los índices y cada resultado obtenido se multiplica por sus exponentes correspondientes.

Extracción de factores en un radical

Se descompone el radicando en factores. Si:
1 Un exponente es menor que el índice, el factor correspondiente se deja en el radicando.


2Un exponente es igual al índice, el factor correspondiente sale fuera del radicando.


3Un exponente es mayor que el índice, se divide dicho exponente por el índice. El cociente obtenido es el exponente del factor fuera del radicando y el resto es el exponente del factor dentro del radicando.

Introducción de factores en un radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Suma

Solamente pueden sumarse (o restarse) dos radicales cuando son radicales semejantes, es decir, si son radicales con el mismo índice e igual radicando.

Introducción de factores en un radical

Se introducen los factores elevados al índice correspondiente del radical.

Radicales del mismo índice

Para multiplicar radicales con el mismo índice se multiplican los radicandos y se deja el mismo índice.



Cuando terminemos de realizar una operación extraeremos factores del radical, si es posible.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se multiplican.

Radicales del mismo índice

Para dividir radicales con el mismo índice se dividen los radicandos y se deja el mismo índice.

Radicales de distinto índice

Primero se reducen a índice común y luego se dividen.


Cuando terminemos de realizar una operación simplificaremos el radical, si es posible.

Potencia

Para elevar un radical a una potencia, se eleva a dicha potencia el radicando y se deja el mismo índice.

Raíz

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto de los dos índices.

Racionalización

La racionalización de radicales consiste en quitar los radicales del denominador, lo que permite facilitar el cálculo de operaciones como la suma de fracciones.
Podemos distinguir tres casos:

1 Racionalización del tipo

Se multiplica el numerador y el denominador por .

2 Racionalización del tipo

Se multiplica numerador y denominador por .

3 Racionalización del tipo

Y en general cuando el denominador sea un binomio con al menos un radical.
Se multiplica el numerador y denominador por el conjugado del denominador.

El conjugado de un binomio es igual al binomio con el signo central cambiado:

También tenemos que tener en cuenta que: "suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados".

Ejercicios

5Halla las sumas:

1
2
3
4

6Realiza las operaciones:

1
2
3
4

7Opera:

8Efectúa:

9Calcula:

1
2

10Racionalizar

1
2
3
4

Ejercicio 5 resuelto

Halla las sumas:
Soluciones:

1
2
3
4

Ejercicio 6 resuelto

Halla las sumas:
Soluciones:

1
2
3
4

Ejercicio 7 resuelto

Opera:
Soluciones:

Ejercicio 8 resuelto

Efectúa:
Soluciones:

Ejercicio 9 resuelto

Calcula:
Soluciones:

1

2

Ejercicio 10 resuelto

Racionalizar
Soluciones:

1
2
3
4

Ejercicios Radicales

1Calcula los valores de las siguientes potencias:

1
2
3
4

2Extraer factores:

1
2

3Introducir factores:

1
2

4Poner a común índice:

5Realiza las sumas:

1
2
3
4

6Halla las sumas:

1
2
3
4

7Efectúa las sumas:

1
2

8Realizar los productos:

1
2
3

9Efectúa las divisones de radicales:

1
2
3

10Calcula:

11Opera:

12Realiza las operaciones con potencias:

1
2

13Realiza las operaciones:

1
2
3
4

14Calcula:

1
2

15Efectuar:

1
2
3

16Racionalizar los radicales:

1
2
3
4
5

17Racionalizar:

1
2
3
4
5

Ejercicio 1 resuelto

Calcula los valores de las siguientes potencias:
Soluciones:

1

2

3

4

Ejercicio 2 resuelto

Extraer factores del radical:
Soluciones:

1

2

Ejercicio 3 resuelto

Introducir factores:
Soluciones:

1

2

Ejercicio 4 resuelto

Poner a común índice los radicales:

Soluciones:

Ejercicio 5 resuelto

Realiza las sumas de radicales:
Soluciones:

1

2

3

4

Ejercicio 6 resuelto

Halla las sumas de radicales:
Soluciones:

1

2

3

4

Ejercicio 7 resuelto

Efectúa las sumas de radicales:
Soluciones:

1

2

Ejercicio 8 resuelto

Realizar los productos de radicales:
Soluciones:

1

2

3

Ejercicio 9 resuelto

Efectúa las divisones de radicales:
Soluciones:

1

2

3

Ejercicio 10 resuelto

Calcula:

Solución:

Ejercicio 11 resuelto

Opera:

Solución:

Ejercicio 12 resuelto

Realiza las operaciones con potencias:
Soluciones:

1

2

Ejercicio 13 resuelto

Realiza las operaciones:
Soluciones:

1

2

3

4

Ejercicio 14 resuelto

Calcula:
Soluciones:

1

2

Ejercicio 15 resuelto

Efectuar:
Soluciones:

1

2

3

Ejercicio 16 resuelto

Racionalizar los radicales:
Soluciones:

1

2

3

4

5

Ejercicio 17 resuelto

Racionalizar:
Soluciones:

1

2

3

4

5